A. Fungsi dan sifat-sifatnya
Pengertian
Fungsi
Suatu
relasi di katakan sebagai fungsi jika setiap unsur di daerah asal (domain = D)
di pasangkan dengan tepat ke satu unsur di daerah kawan.Sehingga misal A dan B
masing-masing merupakan himpunan.Relasi fungsi (f) dari A ke B ( f: A→B )
dikatakan sebagai fungsi jika setiap anggota di pasangkan dengan tepat ke satu
anggota B.
Sifat-sifat
fungsi
1.
Fungsi
injektif ( Fungsi satu-satu )
Fungsi f dari A ke B merupakan
fungsi injrktif jika anggota B dipasangkan dengan tepat ke satu anggota
A,tetapi tidak semua anggota B harus mempunyai pasangan dengan tepat satu
anggota A.Dengan kata lain,fungsi f dari A ke B merupakan fungsi injektif jika
a1,a2 ϵ Df dengan a1
≠ a2 maka f (a1) ≠ f (a2). D f =
daerah asal fungsi f.
2.
Fungsi Surjektif ( Fungsi Onto )
Fungsi f dari anggota A ke B merupakan fungsi
surjektif jika setiap anggota B mempunyai pasangan dengan anggota A.
3.
Fungsi
Bijektif ( Fungsi Berkorespondensi satu-satu )
Suatu fungsi dikatakan bijektif
jika fungsi tersebut merupakan fungsi injektif sekaligus surjektif.B. Aljabar Fungsi
Penjumlahan,Pengurangan,Perkalian,dan
Pembagian Dua fungsi
Jika f dan g merupaka
fungsi,berlaku sifat-sifat aljabar fungsi sebagai berikut.
a)
Penjumlahan Fungsi : ( f + g ) (x) = f(x)
+ g (x)
Contoh
soal
Diketahui f(x)
= x + 2 dan g(x) = x2– 4. Tentukan (f +
g)(x).
Penyelesaian
(f + g)(x)
= f(x) + g(x)
= x + 2 + x2– 4
= x2 + x – 2
b)
Pengurangan Fungsi :
( f – g ) (x) = f(x) – g (x)
Contoh
soal
Diketahui f(x)
= x2– 3x dan g(x)
= 2x + 1. Tentukan (f – g)(x).
Penyelesaian
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
= x2 – 3x – (2x +
1)
= x2 – 3x – 2x –
1
= x2 – 5x – 1
c) Perkalian
Fungsi : (f . g ) (x) = f(x) . g(x)
Contoh soal
Diketahui
f(x) = x – 5 dan g(x) = x2+ x. Tentukan
(f × g)(x).
Penyelesaian
(f
× g)(x) = f(x) . g(x)
= (x
– 5)(x2 + x)
= x3 +
x2 – 5x2 – 5x
= x3 – 4x2 – 5x
d)
Pembagian
Fungsi : 
(x) = 
, g (x) ≠ 0
(x) = , g (x) ≠ 0
Contoh soal
Diketahui f(x) = x2 – 4 dan g(x) = x
– 2 tentukan (x)
(x)
Penyelesaian
(x) =
= 
= 
= x – 2
= = x – 2
Daerah
Asal Fungsi
Diketahui fungsi f dan g merupakan fungsi
dengan Df = daerah asal f dan Dg = Daerah asal g. Daerah
asal operasi aljabar dua fungsi sebagai berikut.
a)
Daerah
asal fungsi ( f + g )(x) : Df + g = Df ∩ Dg
b)
Daerah
asal fungsi ( f – g ) (x) : Df – g = Df ∩ Dg
c)
Daerah
asal fungsi ( f . g ) (x) : Df . g = Df ∩ Dg
d)
Daerah
asal fungsi 
(x) : 
= Df ∩ Dg
(x) : = Df ∩ DgC. Fungsi Komposisi
a.
Pengertia
Fungsi Komposisi
Jika
f dan g merupakan fungsi,fungsi komposisi f dan g ( ditulis f ◦ g ) dirumuskan
sebagai berikut.
( f ◦ g ) = f(g(x)) f ◦ g dibaca f bundaran g atau f komposisi g
Artinya
mula-mula unsur x € Dg
dipetakan oleh g ke g(x),kemudian g(x) dipetakan oleh f ke f(g(x)). Dengan cara yang sama diperoleh
fungsi komposisi berikut.
( g ◦ f ) (x) = g (f(x))
( f ◦ g ◦ h ) (x) =
f(g(h(x)))
b.
Sifat
– sifat komposisi fungsi
1)
Komposisi
fungsi tidak bersifat komutatif
( f ◦ g ) (x) ≠ ( g ◦ f ) (x)
2)
Komposisi
fungsi bersifat asosiatif
( f ◦ g ◦ h ) (x) = ( f ◦ ( g ◦ h
))(x) = (( f ◦ g ) ◦ h ) (x)
3)
Dalam
komposisi fungsi terdapat sebuah fungsi identitas,yaitu I(x) = x sehingga
( f ◦ I )(x) = ( I ◦ f )(x) = f(x)
Contoh soal :
1.
Jika f(x) = 2x3 dan g(x) = x + 3,
tentukan g ◦ f(x).
2.
Jika g(x) = 2x + 4 dan h(x) = x2 + 2x
+5, tentukan h ◦ g(x).
3. komposisi (f ° g) (x) =
10x – 5 dan f(x) = 2x – 5, tentukan g(x).......
Jawab:
1.
g ◦ f (x) = g {f (x)}
= f(x) + 3
= 2x3 + 3
2.
h ◦ g (x) = h{g(x)} = {g(x)}2
+ 2{g(x)} + 5
= (2x + 4)2 + 2(2x + 4) +
5
= 4x2 + 16x + 16 + 4x + 8 + 5
= 4x2 + 20x + 29
3. (f ○ g)(x) = 10x – 5
f(g(x)) = 10x – 5
2(g(x)) – 5 = 10x –
5
2 (g(x)) = 10x
g(x) = 5x
D. Invers suatu fungsi
Invers suatu fungsi disebut pula balikan suatu
fungsi.invers dari fungsi f dilambangkan degan f-1 .
|
E. Fungsi Invers
Invers
suatu fungsi belum tentu berbentuk fungsi . Jika invers suatu fungsi berbentuk
fungsi,invers tersebut disebut fungsi invers.
Fungsi
f mempunyai fungsi invers jika dan hanya jika suatu fungsi bijektif
(korespondensi satu- satu ).Misalkan f :
A→B bijektif maka f memetakan setiap x ϵ A ke y ϵ B dan f-1
memetakan setiap y ϵ B ke x ϵ A. Dengan
kata lain
f(x)
= y ↔ f-1(y) = x
Daerah
hasil (Range = R) f adalah daerah asal f-1 dan daerah asal f adalah
daerah hasil f-1 (Rf = 
dan Df = 
).
dan Df = ).
f
: A→B
f = {(a1,b1), (a2,b2),
(a3,b3)}
f-1
: B→A
f-1= {(b1,a1),
(b2,a2), (b3,a3)}F. Menentukan Invers Dari suatu fungsi
Langkah – langkah menentukan invers
suatu fungsi f(x) sebagai berikut :
a.
Misalkan
f(x) sebagai variabel y
b.
Selesaikan
persamaan y = f(x) sehingga di peroleh x sebagai fungsi dari y atau x = f-1
c.
Ganti
variabel y pada f-1 (y) dengan x sehingga diperoleh f-1
(x) yang merupakan invers dari f(x)
G. Invers dari Fungsi Komposisi
Dimisalkan f dan g merupakan fungsi
bijektif,invers dari fungsi komposisi ( f ◦ g ) (x) adalah
( f ◦ g )-1 (x) yang dirumuskan
sebagai berikut.
( f ◦ g )-1 (x)
= ( g-1 ◦ f-1 )(x)
Dengan
cara yang sama diperoleh invers dari fungsi komposisi sebagai berikut.
( g ◦ f )-1
(x) = ( f-1 ◦ g-1 )(x)
( f ◦ g ◦ h )-1
(x) = ( h-1 ◦ g-1 ◦ f-1 ) (x)
Contoh Soal:
1.
Diketahui
f(x) = 2x + 1. Tentukan rumus f-1(x)!
Jawab:
f(x) =
2x +
1 misal f(x) = y
y = 2x +
1
2x = y – 1
x = 
mengganti variabel y dengan x
f-1(x) =
2.
Diketahui f(x) =
untuk x ≠ -3 dan g(x) = 4x +7. Tentukan:
untuk x ≠ -3 dan g(x) = 4x +7. Tentukan:
a.
Invers fungsi f;
b.
Invers fungsi g.
Jawab:
a.
f(x) = misal
f(x) = y
f(x) = misal
f(x) = y
y =
(x+3)y = 2x – 1
xy + 3y = 2x – 1
xy – 2x = 
3y
– 1
3y
– 1
x(y – 2) = 3y
– 1
3y
– 1
x = 
mengganti
variabel y dengan x
f-1(x) = 
; x ≠ 2
; x ≠ 2
b.
g(x) = 4x +7
y = 4x + 7
4x = y – 7
x = 
g-1(x) = x – 7
3.
Diketahui f (x)
= 10x +1 dan g(x) = 
; x ≠ 
.
Tentukan (g ◦ f)-1(x)!
; x ≠ .
Tentukan (g ◦ f)-1(x)!
Jawab:
(g ◦ f)(x) = g(f(x))
= g(10x+1)
= 
= 
misal (g ◦ f)(x) = y
y =
(20x + 1)y = 10x + 8
20xy + y = 10 x + 8
20xy – 10x = 8 – y
x(20y – 10) = 8 – y
x = 
(g ◦ f)-1(x) = ; x ≠
; x ≠ 
Tidak ada komentar:
Posting Komentar